Объяснение простое :
1 Когда двигатель не заведен, форма напряжения четко 12 вольт, без всяких провалов, поэтому и с лампой и со светодиодом реле будет втянуто и все будет работать.
2. Когда двигатель заведен, форма напряжения становится вот такая :

На форме напряжения видим провалы. Катушка реле - это индуктивность, ток в которой не может изменится мгновенно, поэтому когда работает лампочка, запасенная энергия разряжается через эту лампочку и реле просто тупо не успевает отпадать во время провалов.
Чем меньше разрядное сопровтивление, тем дольше будет отпадать реле и практически без перенапряжения, и наоборот, чем больше разрядное сопротивление, тем быстрее будет отпадать реле с перенапряжением 10-15 крат приложенного к ней.
Когда включен светодиод, разрядной цепочки нет, через светодиод не может разряжаться так как он включен встречно разрядному току, и при очередном провале, реле просто отпадает. Когда напруга восстанавливается, релюха обязана втянуться снова, но вот что за схемотехника внутри камеры и вашего экрана, я Х.З. может быть там есть защита от "морганий" и уже просто камера или экран не включаются при повторной подаче питания.
Выход из этой дребедени :
1. Как писал Pashustik . На сигнальный провод от + ЗХ ставим диод и после него конденсатор.
2. Ставим на катушку разрядный диод.
3 как бы это не было смешно, но если вы подключите параллельно лампочку, схема действительно опять заработает, так как катушка реле будет разряжаться чепез лампочку и отпадать с выдержкой времени, а там уже и новый фронт подоспеет и релюха будет оставаться втянутой.
как то так
P.S. Перенапряжение на выходе не есть гуд для блока бортовой сети. Можно с полевыми ключами попрощаться
(тел. +7(982)1O2-4O-7O ) Passat B6 DSG7 1.8TSi ComfortLine 2010г